Drake-Gleichung in der Schule (Mathe Oberstufe Stochastik)

Die Drake-Gleichung lautet:

mit folgenden Faktoren:

R = Sternentstehungsrate in unserer Galaxie, der Milchstraße (pro Jahr)

f_p = Anteil von Sternen mit Planeten,

n_e = mittlere Anzahl von Planeten zu einem Stern,

f_l = Anteil von Planeten, die Leben hervorbringen könnten,

f_i = Anteil von belebten Planeten, die auch intelligentes Leben und Zivilisationen hervorbringen könnten

f_c = Anteil von Zivilisationen mit Interesse an interstellarer Kommunikation,

L = Lebensspanne einer technischen Zivilisation (in Jahren)

Die Schätzungen dazu gehen weit auseinander, die ursprüngliche lautet

• R = 1 a⁻¹
• f_p = 0,2 – 0,5
• n_e = 1 – 5
• f_l = 1
• f_i = 1
• f_c = 0,1 – 0,2
• L = 1000 to 100.000.000

Daraus ergeben sich 20 – 50.000.000 Zivilisationen.

Didaktische Reduktion der Drake-Equation für den Mathe-Unterricht

Die Milchstraße enthält ca. 100 Milliarden Sterne. Wir ignorieren die zeitliche Komponente, dass manche Zivilisationen vor uns existierten und andere erst nach uns existieren würden, also R und L, dafür werden die anderen Faktoren nach unten abgeschätzt. Wir wählen eine Fragestellung, die sich eher für die Entdeckung von Zivilisationen als für die Kommunikation mit ihnen interessiert. Die mittlere Anzahl von Planeten pro Stern wird auf 3 gesetzt. Dann bleiben noch als mögliche Werte:

• f_s = 7 % als Anteil der sonnenähnlichen Sterne in der Milchstraße
• f_p = 1 / 5 der Sterne haben Planeten
• n_e = 3 Planeten gibt es durchschnittlich in einem planetaren Sternsystem
• f_l = 5 % der Planeten in Sonnen-artigen Sternsystemen bringt Leben hervor, in nicht-sonnenartigen Sternen nur 0,1 %
• f_i = 1 % der Planeten mit Lebensformen entwickelt intelligente Zivilisationen

Mögliche Aufgabenstellungen – Teil 1 – Baumdiagramm & Vierfeldertafel

1. Erstelle ein Baumdiagramm zum Sachverhalt.
   (Hinweis: du könntest f_p * n_e  * f_l der Einfachheit halber zusammenfassen.)
2. Stelle in einer Vierfeldertafel dar:
   1. Stern ist sonnenähnlich oder nicht.
   2. Stern bringt intelligentes Leben hervor.
3. Gib je einen Sachverhalt an, in dem zwei Ereignisse
   1. stochastisch unabhängig,
   2. stochastisch abhängig sind.
4. Susi ist mit ihrem Raumschiff auf einen intelligenten Planeten gestoßen
   – Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Planet zu einem sonnenähnlichen Stern gehört?
5. Beurteile, inwiefern die Annahmen für f_l = 20 % und f_i = 1 %  vernünftig sind.
6. Wenn wir nun noch annehmen, dass 10 Prozent aller Zivilisationen Lust und Fähigkeit für Kommunikation im Weltraum haben: Wie viele Zivilisationen müsste es geben, die mit uns Kontakt aufnehmen könnten?

Teil 2 – Bernoulli

Das Transiting Exoplanet Survey Satellite (TESS) ist ein Weltraumteleskop der NASA. TESS sucht systematisch nach sonnenähnlichen Sternen mit Planeten. Seit Startlauf im Jahr 2018 wurden 5000 mögliche Planeten registriert.

Angenommen, im Jahr 4000 wird es möglich, zu den Planeten hinzureisen. Es wird eine Reiseroute mit 10 Sternen gewählt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a)

Teil 3 – Intergalaktische Energie-Olympiade – Kombinatorik

Die Menschheit steht zwar im Jahr 2100 kurz vor der energetischen Selbstzerstörung, findet aber im Jahr 3000 die Möglichkeit, die Energie der Sonne im Weltraum besser abzugreifen. Im Jahr 5000 gelingt es schließlich, auch andere Sterne in der Nähe als Energiequellen anzuzapfen. Im Jahr 6500 entdeckt die Menschheit fünf weitere Zivilisationen.

Wenn 2 Zivilisationen miteinander Kontakt aufgenommen und sich bisher nicht gegenseitig ausgelöscht haben, gelten sie als befreundete Zivilisationen. Wenn sich 3 Zivilisationen untereinander kennen, gelten sie als Zivitrio.

1. Wie viele Freundschaftsverbindungen sind möglich zwischen den 6 Zivilisationen?
2. Wie viele mögliche Zivitrios gibt es?

Zur Freude über die neue Freundschaften starten die 6 eine intergalaktische Olympiade: Wer kann am meisten andere Sterne für die Energiegewinnung erobern? Der Gewinner bekommt außerdem den Zentralstern vom Verlierer. Ein intragalaktisches Wettbüro nimmt nun Wetten an, bei denen alle Lebewesen Wetten abgeben können, welche der 3 Zivilisationen gewinnen.

1. Wieviele mögliche Gewinnerkombinationen gibt es?
2. …und wieviele, wenn die exakte Platzierung keine Rolle spielt?
3. Wieviele mögliche Kombinationen gibt es für den Verlust des Zentralsterns einer Zivilisation an eine andere?

Teil 4 – Sternlotterie A

Desweiteren veranstalten die 6 Zivilisationen eine Zufallsvergabe von weiteren Sternen als Energiequellen: dafür wählen sie bisher ungenutzte Sterne aus und teilen sie einer der 6 Zivilisationen zu. 10 Sterne stehen aktuell zur Verfügung.

Es werden 10 Sterne aus der Milchstraße gezogen.

• Weiß (F): 1 von 33 (3,03 %)
• Gelbe (G): 7 %
• Blaue (B): 1 von 800 (0,125 %)
• Orange (K): 12 %
• Rot (M): 76 %

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,

1. 10 rote Sterne,
2. zwei Sterne von jeder Farbe,
3. 3 gelbe Sterne hintereinander

zu ziehen?

Unter den 10 Sternen befinden sich 4 Orange Zwerge, 5 Rote Riesen und 3 Weiße Zwerge.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für diese Verteilung?

Die ersten 3 Sterne werden gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit:

1. 3 Orange Zwerge nacheinander zu ziehen?
2. einen Stern von jeder Farbe zu ziehen?
3. dass die 3 Sterne aus nur 1 Farben zusammengesetzt sind?

Sternlotterie B

Wenn ein Stern ausgewählt wurde, verteilen sie ihn an eine der 6 Zivilisationen mit einer Erfindung namens »Würfel«.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir als Menschen:

1. den ersten Stern gewinnen?
2. alle 10 Sterne gewinnen?
3. die ersten beiden Sterne gewinnen?
4. 5 beliebige Sterne gewinnen?
5. höchstens 1 von den 10 Sternen gewinnen?
6. höchstens 3 von den 10 Sternen gewinnen?
7. mindestens 5 Sterne gewinnen?
8. mindestens 10 Sterne gewinnen?

Fermi-Paradoxon

Je nach Wahl der Faktoren in der Drake-Gleichung ergeben sich sehr wenige belebte Planeten („wir sind alleine im Universum“) oder sehr viele. Wenn es möglicherweise sehr viele Zivilisationen gibt, warum haben wir sie noch nicht kennengelernt? Dies ist das Fermi-Paradoxon.